Kärlekens matematik III: När ska man sluta leta?

När jag var tretton år hade jag sparat ihop tillräckligt med pengar för att köpa en ny cykel. I cykelaffären hittade jag en turkosblå mountainbike av märket Raleigh och blev kär på ett ögonblick. Men trots att det var den finaste cykel jag sett, fick jag inte köpa den. I stället tvingade pappa med mig till två andra cykelaffärer i Stockholm för att klämma, känna och provcykla andra kandidater. Hur många cyklar ska man egentligen prova innan man bestämmer sig? undrade jag.

Tjugo år senare skulle jag finna svaret på den frågan inom optimal stopping theory. Ett svar som dessutom erbjuder en optimal strategi för att hitta sitt livs kärlek.

Optimal stopping-teori

Såväl vid cykelköp som i kärlek har man små chanser att hitta den rätta om man bara tar första bästa. Väntar man å andra sidan för länge och avvisar friare efter friare i jakt på grönare gräs, är risken att man står där på ålderns höst med insikten att den rätte var någon av dem man refuserade på vägen. Det hela kokar ner till att veta när man ska sluta leta. Det är här optimal stopping theory gör entré.

Optimal stopping-teori är en del av matematiken där man söker den bästa tidpunkten att avbryta vad man håller på med och vidta en viss handling. Det mest kända problemet inom optimal stopping-teori är en variant av vårt cykelproblem där utmaningen består i att hitta den bästa partnern av ett förutbestämt antal kandidater. I problemet antar man att du under varje förhållande får tillräckligt med information för att avgöra hur partnern står sig i konkurrensen jämfört med andra personer du har dejtat. Däremot vet du ingenting om de återstående kandidaternas kvaliteter. För varje person du dejtar kan du bestämma dig för att gifta dig – i vilket fall personen alltid accepterar – eller göra slut, i vilket fall du inte kan ångra dig och uppvakta personen igen. Nöjer du dig för tidigt är risken att du inte hittar den bästa. Är du alltför kräsen, riskerar du att ditt livs kärlek går dig förbi.

Titta först och handla sen

Matematiken visar att det finns en optimal strategi som gör att du hittar den bästa kandidaten i mer än en tredjedel av fallen. I sin utmärkta bok Algorithms to live by kallar Brian Christian och Tom Griffiths den strategin för look-then-leap. Metoden bygger på att du under en testperiod dejtar och synar (look!) ett bestämt antal kandidater, men avvisar dem alla, hur bra de än är. När testperioden är över fortsätter du att dejta och friar först när du träffar en kandidat som är bättre än alla andra du dejtat under testperioden (leap!).

Men hur lång ska testperioden vara? I Douglas Adams kultförklarade bokserie Liftarens guide till galaxen är svaret på allting 42. I optimal stopping theory är det 37 %. Den optimala strategin är nämligen att låta testperioden omfatta 37 % av det totala antalet partner du kan komma att dejta i ditt liv, och därefter slå till på den första kandidat som är bättre än alla du dittills sett. Då lyckas du hitta den allra bästa partnern i mer än en tredjedel av fallen, närmare bestämt med sannolikheten 37 %. Stanna upp ett ögonblick och förundras över denna häpnadsväckande symmetri. Längden av testperioden och sannolikheten att lyckas är förbluffande nog precis samma tal.

Grafen visar hur sannolikheten att hitta den bästa partnern bland 100 kandidater (y-axeln) beror av antalet personer man avvisar under testperioden (x-axeln). Vi ser att den maximala sannolikheten att lyckas är 37 % vilket inträffar när man avvisar 37 personer (37 % av 100).

Varför strategin fungerar

Ett intuitivt sätt att förstå varför strategin fungerar är att inse att du genom att dejta ett antal kandidater får information om marknaden. Det var den läxan min far försökte lära mig som trumpen 13-åring där i cykelaffären. Genom att scanna av utbudet kan du bättre avgöra vilken cykel eller partner som är bäst för dig. Den bästa kandidaten du dejtar under testperioden blir en referenspunkt, ett riktvärde som du sedan jämför alla återstående kandidater med. Testperioden låter dig med andra ord kalibrera dina förväntningar. Det finns så klart en risk att du under testperioden måste tacka nej till den som skulle vara ditt livs kärlek. Därför får perioden inte vara för lång. Den perfekta balansen visar sig ligga vid ungefär 37 %. Åtminstone om det totala antalet friare är tillräckligt stort.

Är du inte fullt övertygad om att det kan vara klokt att vänta? Låt mig försöka övertala dig med ett mer matematiskt resonemang. Tänk dig att du använder dig av look-then-leap-strategin och att du avvisar hälften av kandidaterna under testperioden. Då kan du vara bergis på att hitta den bästa partnern varje gång den näst bästa kandidaten finns i den första halvan, samtidigt som den bästa kandidaten finns i den andra halvan – och det inträffar precis en fjärdedel av tiden. (*) Den strategin ger dig alltså minst 25 % chans att lyckas, vilket är långt bättre än slumpen.

En formel

För att komma fram till den gyllene regeln med 37 % har matematiker härlett formeln

Videon här nedanför förklarar hur man kan komma fram till den.

Med den kan man beräkna hur sannolikheten att hitta den rätta P(n, a) beror på det totala antalet friare n och antalet avvisade kandidater under testperioden a. Tabellen visar det största möjliga värdet av P(n, a) för olika värden på n.

Tabellen visar att om din totala pool av kärlekskandidater är sju personer, ska du dejta och avvisa två personer under testperioden för att maximera dina chanser att hitta den rätta. Då är chansen att lyckas drygt 41 %. Men vänta ett tag? Vad hände med 37 %?
Tittar vi noga i tabellen ser vi att det är först för tillräckligt stora värden på n som den gyllene regeln om 37 % gäller. På matematiska säger man att det optimala värdet på a (eller mer precist: a/n) närmar sig 37 % (ja, faktiskt 1/e) när n går mot oändligheten. Men tabellen visar också att 37 % är en rimlig tumregel även för mindre värden på n.

Några invändningar

Men hur användbar är egentligen den här matematiska modellen? Du har kanske redan upptäckt att några av kriterierna i problemets formulering sätter användbarheten i tveksamt ljus. Såvida du inte råkar vara en Leonardo DiCaprio eller Julia Roberts är det exempelvis osannolikt att varje älskare du möter tackar ja till ett frieri. För det andra finns det i verkligheten en chans – om än liten – att du kan återgå till en älskare du gjort slut med och börja om på nytt. (I mitt cykelexempel gick jag till exempel tillbaka till den första cykelaffären och slog till på den turkosblåa Raleighn.) En tredje invändning är att problemets formulering kräver att man från början vet hur många kärlekskandidater man har att välja bland (n). Visserligen kan man uppskatta det antalet med Drakes ekvation, men att slå fast den kvantiteten med precision är inte särskilt realistiskt. Mot denna tredje invändning finns det dock ett motdrag. I stället för att uppskatta hur många älskare man kommer att ha, kan man nämligen bestämma sig för hur lång tid sökandet efter en livskamrat får ta och fortfarande använda sig av den gyllene 37 %-regeln. Vill du till exempel hitta din livspartner när du är mellan 18 och 35 år, bör du dejta 37 % av den tiden (ca 6 år) och sedan fria till den första som är bättre än alla dina tidigare älskare.

Men hur imponerade ska vi egentligen vara av resultatet? Visserligen får vi vår mest lämpliga livskamrat i mer än en tredjedel av fallen, men att majoriteten av oss (63 %) misslyckas med samma metod känns inte så trösterikt (även om det är långt bättre än det slumpmässiga 1/n). Även till detta finns ett botemedel. Problemformuleringen förutsätter nämligen att vi bara blir lyckliga om vi hittar den allra bästa kandidaten. Många av oss skulle emellertid glatt nöja sig med den näst bäste eller till och med en person över den åttionde percentilen. I boken Mathematics of love visar Hannah Fry med hjälp av en så kallad Monte Carlo-simulering att om vi nöjer oss med en partner i de översta 15 procenten får vi önskat utfall hela 78 % av gångerna med look-then-leap-metoden. Och vi behöver dessutom bara ägna 19 % av den totala tiden åt att syna marknaden i vår testperiod.

Tillämpningar

@othmaneferrah

Även om vissa förutsättningar i problemets formulering kan ifrågasättas, kan den gyllene 37 %-regeln vägleda dig i några av vardagens dilemman. Exempelvis kan sökandet efter den perfekta lägenheten, jakten på en parkeringsplats och processen att hitta den bästa jobbkandidaten modelleras som ett optimal-stopping-problem där 37 %-regeln gäller. Bestämmer du dig för att besöka totalt 20 lägenheter, är det en god idé att titta på de första sju och därefter slå till på den som är bättre än alla du dittills sett. Har du 15 minuter på dig att hitta en parkeringsplats nära slutdestinationen, kan du ägna 5–6 minuter åt ren spaning, innan du tar nästa lediga ruta. Och får du 30 ansökningar till en tjänst, kan du välja att intervjua 11 och sen erbjuda jobbet till den som överglänser alla tidigare kandidater. Faktum är att problemet vi ägnat oss åt att analysera i det här blogginlägget ursprungligen formulerades som just ett sökande efter den bästa sekreteraren. Därför kallas det ofta för sekreterarproblemet. De huvudsakliga tillämpningarna av optimal stopping-teori finns dock inom ekonomi där man exempelvis letar efter den optimala tidpunkten att lösa in en option.

Lyckas du inte använda 37 %-regeln för att hitta kärlek, parkering eller lägenhet kan du alltid använda den för att bli rik. Låt bara dina vänner skriva 50 slumpmässigt valda tal – vilka som helst – på 50 lappar och sprida ut dem med baksidan uppåt på ett bord. Slå vad med dina vänner om att du kan vända på lapparna en efter en och sluta när du nått det största talet. Eftersom det synes vara en i det närmaste omöjlig uppgift kommer dina kamrater förhoppningsvis gå med på att betala dig 50 kronor om du lyckas och få 10 kronor om du misslyckas. Med 37 %-regeln under bältet är du garanterad att på sikt göra dig en mindre förmögenhet.

(*) Ty det finns fyra alternativ:
1. båda finns i första halvan
2. båda finns i andra halvan
3. näst bästa finns i första halvan och bästa i andra
4. bästa bland finns i första halvan och nästa bästa i andra
Eftersom alternativen är lika sannolika kommer det mest gynnsamma scenariet (3) att inträffa en fjärdedel av tiden.

Referenser och vidare läsning

Christian, B. & Griffiths, Tom (2017) Algorithms to live by. The computer science of human decisions. Picador

Ferguson, Thomas S. (1989) Who Solved the Secretary Problem? Statistical Science, Vol. 4, No. 3, 282-296

Fry, Hannah (2015) Mathematics of love. Patterns, proof, and the search for the ultimate equation. Simon & Schuster

Hernandez, Brian (2010) The secretary problem solution details.

Hill, Theodore P. (2009) Knowing when to stop. Scientific American, Volume 97:2, p. 126

Sandström, Peter (2009) Matematik med möjligheter. Meddelanden från Åbo Akademi, nr 11

Wikipedia, The secretary problem Läst: 20200111