Tömma flaska
I den här grafberättelsen får eleverna se hur flaska med vatten töms ur ett hål i flaskans sida. Elevernas uppgift är att rita en graf över hur vattnets höjd avtar med tiden.
Grafen som beskriver händelsen är en avtagande kurva. Grafberättelsen kan användas för att introducera och använda begrepp som avtagande, icke-linjär och derivata.
Förslag till arbetsgång
Visa den första delen av filmen för eleverna. Pausa efter att koordinatsystemet har visats och förklara för eleverna att de ska rita en graf som visar hur vattnets höjd i flaskan avtar med tiden. Betona för eleverna att tiden startar när vattnet börjar rinna och att den slutar när filmsekvensen tar slut.
Dela ut grafpapper eller låt eleverna själva rita ett tomt koordinatsystem i sina anteckningsböcker.
Starta filmen igen, så att eleverna får se händelsen ännu en gång, och ge eleverna tid att rita grafen.
Gå runt i klassrummet och följ elevernas arbete. Välj ut några grafer, som du vill jämföra i helklass.
Diskutera elevernas grafer i helklass. Vad är deras likheter och skillnader? Vad förutspår elevernas grafer om (1) hur högt vattnet stod i flaskan från början, (2) hur lång tid det tar för flaskan att tömmas och (3) hålets höjd. Använd under diskussionen viktiga matematiska begrepp som icke-linjär, avtagande, lutning och y-värde.
Låt eleverna revidera sin graf utifrån de intryck de tagit i diskussionen.
Starta videon igen och visa den korrekta grafen. Stämde svaret med elevernas skisser? Diskutera gärna hur man i den korrekta grafen kan avläsa vattnets ursprungliga höjd, hålets höjd och hur lång tid det tog för flaskan att tömmas (till hålets nivå).
Anpassning
Om eleverna har svårt att komma i gång, kan man ställa stöttande frågor, som
I vilken punkt bör grafen börja?
I vilken punkt bör grafen sluta?
Hur tror du att grafen ser ut däremellan?
Ett annat sätt att stötta eleverna är att gemensamt i klassen rita ut en lämplig skala på axlarna eller att dela ut ett koordinatsystem till eleverna där skalan redan är utsatt. Man kan också överväga att låta eleverna arbeta två och två. Ytterligare ett sätt att stötta eleverna är att- innan de ritar sina grafer - låta dem uppskatta hålets höjd, vattnets höjd i flaskan från början och hur lång tid det tog för flaskan att tömmas till hålets höjd. Det kan hjälpa dem att placera ut viktiga hållpunkter i grafen.
Utvidgning
Ett sätt att utvidga övningen är att låta eleverna
bestämma tömningshastigheten vid olika tidpunkter (tangentens lutning)
bestämma funktionsuttrycket med hjälp av regression. (Använd värdena längst ner i texten.) Jag fann att händelsen bäst beskrivs av andragradsfunktionen: y = 0,0064x^2 - 0,5636x + 14,8846.
Man kan också gå djupare genom att ställa (eller låta eleverna ställa!) vad-händer-om-frågor som…
Hur skulle grafen se ut om hålet var större? Mindre?
Hur skulle grafen se ut om flaskan var högre? Lika hög men bredare?
Hur skulle grafen se ut om hålet varit placerat i flaskans botten?
Uppmätta värden
Tid (s) Höjd (cm)
0 14.7
1 14.3
2 13.7
3 13.3
4 12.7
5 12.2
6 11.7
7 11.2
8 10.7
9 10.3
10 9.9
11 9.5
12 8.9
13 8.6
14 8.3
15 7.9
16 7.4
17 7.2
18 6.8
19 6.5
20 6.1
21 5.8
22 5.5
23 5.2
24 5
25 4.8
26 4.5
27 4.2
28 4
29 3.8
30 3.6
31 3.5
32 3.3
33 3.1
34 3
35 2.9
36 2.8
37 2.7
38 2.7
39 2.6
40 2.6