Skugga mot en vägg
I den här grafberättelsen får eleverna skissa en graf som beskriver hur höjden av en leksaksgubbes skugga beror av gubbens avstånd från väggen när han närmar sig en ljuskälla.
Grafen beskriver en rationell funktion, vilket gör att grafberättelsen kan användas för att lyfta matematiska begrepp som rationell funktion, singularitet, definitionsmängd samt vertikal och horisontell asymptot. Men grafberättelsen går också utmärkt att använda på högstadiet som ett exempel på en graf som inte är linjär.
Förslag till arbetsgång
Visa den första delen av filmen för eleverna. Pausa efter att koordinatsystemet har visats och förklara för eleverna att de ska rita en graf som visar hur skuggans höjd beror av leksaksgubbens avstånd från väggen.
Dela ut grafpapper eller låt eleverna själva rita ett tomt koordinatsystem i sina anteckningsböcker.
Starta filmen igen, så att eleverna får se händelsen ännu en gång, och ge eleverna tid att rita grafen. Om du vill kan du välja att dela med dig av informationen att leksaksgubben är 5 cm lång och att ljuskällan befinner sig 30 cm från väggen. I annat fall får eleverna själva uppskatta denna information.
Gå runt i klassrummet och följ elevernas arbete. Välj eventuellt ut några grafer, som du vill jämföra i helklass.
Diskutera elevernas grafer i helklass. Hjälp eleverna att sätta ord på grafernas likheter och skillnader. Introducera samtidigt viktiga matematiska begrepp som icke-linjär, växande, asymptot, oändligheten.
Starta videon igen och visa den korrekta grafen. Diskutera likheter och skillnader mellan den korrekta grafen och elevernas förslag. För många elever påminner nog grafens utseende om grafen till en exponentialfunktion. Att så inte kan vara fallet, kan vara värt att lyfta till diskussion genom att särskilt peka på grafens vertikala asymptot.
Anpassning
Om eleverna har svårt att komma i gång, kan man ställa stöttande frågor, som
I vilken punkt bör grafen börja?
I vilken punkt bör grafen sluta?
Hur tror du att grafen ser ut däremellan?
Man kan också be eleverna att i ord formulera hur de tror att skuggans höjd förändras. Det kan hjälpa dem att sedan skissa en graf.
Ett annat sätt att stötta eleverna är att gemensamt i klassen rita ut en lämplig skala på axlarna eller att dela ut ett koordinatsystem till eleverna där skalan redan är utsatt.
Utvidgning
Ett sätt att utvidga övningen är att låta eleverna
bestämma funktionens definitionsmängd och värdemängd
bestämma grafens lutning (derivata) i olika punkter och tolka vad resultatet betyder i sammanhanget
Man kan också låta eleverna härleda det funktionsuttryck som beskriver grafen. Ett sätt är att utgå från att ljuskällan befinner sig i linje med underlaget.
Med hjälp av likformiga trianglar kan man då härleda följande samband mellan avståndet x och skuggans höjd y.
I verkligheten befann sig ljuskällan på ca 2 centimeters höjd. Det ger följande bild:
Genom att återigen utnyttja likformighet kan man härleda följande, mer korrekta, samband mellan avståndet x och skuggans höjd y.
Ett annat sätt att fördjupa arbetet med grafberättelsen är att ställa (eller låta eleverna ställa!) vad-händer-om-frågor, t.ex.
Hur skulle grafen se ut om leksaksgubben var längre? Kortare?
Hur skulle grafen se ut om om ljuskällan befann sig närmare väggen? Längre bort?
Hur skulle grafen se ut om ljuskällan befann sig i nivå med underlaget?